Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II se referem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos exercícios a seguir.
Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.
Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Solução:
Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:
(1) a1 = g1 = 4
(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
(3) a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2
(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:
(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2
(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0
=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):
r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16
g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16
Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]
Solução:
Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2
=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).
Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Solução:
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
- Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
- se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) – 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22
e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37
E portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59
Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:
a) ac = b2
b) a + c = 2
c) a + c = b2
d) a = b = c
e) ac = 2b
Solução:
A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é:
(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)
(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)
De (1) e (2) vem:
a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0
Para que o produto seja igual a zero:
ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas
Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.
Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4
Solução:
Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4
Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
Solução:
Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:
S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:
15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem:
20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15
=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5
Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:
a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192
Solução:
Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:
a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2
Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:
a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96
Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.
Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.
Solução:
Sabemos que:
(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912
Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:
(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2
Substituindo (2) em (1):
(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:
n1 = 26 e n2 = -28
Como n > 0, a resposta é 26.
Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?
Solução:
Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:
Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:
Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.
Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.
Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.
Solução:
Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:
b = a – 6 e c = a – 3
Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:
a2 = b2 + c2 => a2 = (a – 6)2 + (a – 3)2
Resolvendo os produtos notáveis:
a2 = a2 – 12a + 36 + a2 – 6a + 9 = 2a2 – 18a + 45
=> a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3
Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:
a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12
E a PA é:
(9; 12; 15).
mar 16, 2012 @ 15:11:04
Ameei esse site
jan 19, 2012 @ 15:28:30
se a soma dos tres primeiros termos de uma pg decrescente é 39 e o seu produto é 729,então,sendo a,b,c os tres primeiros termos,pede-se calcular o valor de A2+b2+c2
jan 08, 2012 @ 16:46:33
Muito bom o conteúdo do blog! Já sei onde procurar ajuda! kkk
nov 23, 2011 @ 13:02:12
Numa PA, a3+a6=34 e a4+a9=50. Calcule a soma dos 20 primeiros temos dessa PA?
nov 18, 2011 @ 11:03:51
preciso responder as questoes de pa e pg por favor me ajuda
2) No primeiro jogo de um campeonato ,a equipe vencedora marcou 6 pontos a mais que a outra , ou seja ,obteve um saldo de 6 pontos . Sabendo que essa equipe venceu os 10 primeiros jogos de que participou e que o saldo de cada jogo foi 2 pontos maior que a do jogo anterior responda as questões e construa o gráfico .
a) Qual o saldo de pontos obtido no 8ª jogo?
b)Qual o saldo total de pontos dessa equipe ao final dos 10 primeiros jogos ?
c)Gráfico de saldo de pontos ao final de cada partida.
3) Cléo guardou em um cofre , semanalmente moedas de 1 real ,obedecendo o seguinte critério .
3 moedas na 1º semana ,5 na 2º ,7na 3º,9 4na º e Assim sucessivamente até interromper o processo no dia em que guardou 31 moedas sem tirar moedas do cofre. até essa data ,quanto ela conseguiu economizar ?
4) Ana e Bia participam de um site de relacionamento , no dia 1º de març
o elas observaram que Ana tinha exatamente 128 vezes o numero de amigos de Bia Ana informou que para cada amigo que tinha no final de um dia , três novos amigos entravam para a sua lista de amigos no dia seguinte . Já bia disse que para cada amigo que tinha no final de 1º dia, 5 novos amigo entravam na sua lista no dia seguinte.
a) no dia 2 de março 20 novos amigos entravam na lista de Bia quantos amigas havia na lista de Ana dia 1/3
set 02, 2011 @ 10:47:54
Pode me ajudar? O resultado da soma infinita de termos 12 + 8 + 16/3 + 32/9 + 64/24 + …. é?
set 02, 2011 @ 10:39:21
calculando a soma dos termos da pg infinita (1, 2/3, 4/9…)
nov 05, 2011 @ 19:36:06
é muito simples, Faça> S=a1/1-q no seu caso o a1: 1 e a q (razão) faça 2/3/1 ou seja q:2/3 dai só faz. S= 1/ 1-2/3. bons estudos :D
ago 28, 2011 @ 14:09:59
Me ajuda a resolver!!!!! Considere a PA de termos positivos (1,x,y) e a PG (x+1,8,3y+1).Determine os valores de X e de Y e escreva as sequências.
jul 05, 2011 @ 02:10:42
não consigo fazer isso, esse dever é um porre .
Presciso de ajuda urgente !
beijooos
jun 14, 2011 @ 18:06:32
como resolver essa pg qual a posiçao ocupada pelo elemento 8192 na pg que a1=4 e q=2 me ajudem por fafor…
jun 02, 2011 @ 16:04:21
queria saber como resolver os termos de uma pg
maio 27, 2011 @ 06:28:22
A q droga e nao entendi nada, mais nadinha mesmo.
maio 23, 2011 @ 19:22:37
Olá amigos, boa noite!
Como posso resolver a questão abaixo?
– Qual é o número mínimo de meios geométricos que se deve interpolar entre 1458 e 2 para a razão de interpolação ficar menor que 1/3?
Desde já agradeço,
Rodrigo
maio 15, 2011 @ 22:21:30
me ajuda q eu tô ficando triste comessa conta:
(Uneb-BA)Um pai fez depósitos mensais na caderneta de poupança de seu filho.No primeiro mês foi R$10,00,no segundo mês foi de R$15,00 e no terceiro mês foi de R$20,00 e assim por diante,depositando a cada mês R$5,00 a mais do que havia depositado no mês anterior.Feito o 24ºdepósito,o total depositado por ele era:
a)R$1.630,00
b)R$1.620,00
c)R$1.615,00
d)R$1.610,00
e)R$1.600,00
jun 18, 2011 @ 01:35:25
a questão é uma P.A de 24 termos onde temos (10,15,20,…), sua razão é 5 usando:
an=a1+(n-1).r
a24=10+(24-1)*5
a24=125
e por fim usando Sn=(a1+an)*n/2 temos;
Sn=(10+125)*24/2
Sn=1620
alternativa b
nov 08, 2011 @ 09:40:02
ciria rosa
mai 15, 2011 @ 22:21:30
me ajuda q eu tô ficando triste comessa conta:
(Uneb-BA)Um pai fez depósitos mensais na caderneta de poupança de seu filho.No primeiro mês foi R$10,00,no segundo mês foi de R$15,00 e no terceiro mês foi de R$20,00 e assim por diante,depositando a cada mês R$5,00 a mais do que havia depositado no mês anterior.Feito o 24ºdepósito,o total depositado por ele era:
a)R$1.630,00
b)R$1.620,00
c)R$1.615,00
d)R$1.610,00
e)R$1.600,00
(10,15,20,…an)
an=10+(24-1).5
an=10+23.5
an=10+115=125
Sn=(10+115).24/2
Sn=135.12=1615
Vlw é isso ai!!!
nov 11, 2011 @ 18:31:39
ei 24 não é N ele é o numero de termos , ele é an,tah errado a resposta certa é letra B como fez o rapaz acima
abr 19, 2011 @ 23:22:57
escreva uma pg:
de cinco termos em que a1= 4 e q=5
maio 23, 2011 @ 11:55:02
a1=4 q=5 a2 =4.5=20 a3=20.5=100 a4=100.5=500 a5=500.5=2500
abr 10, 2011 @ 16:18:40
olá! gostaria que me enviase por email, uns exercicios de matematica a nivel 2 grau. pois irei, fazer a prova dos correios.
desde ja agradeço!
fique com deus!
abr 07, 2011 @ 15:59:41
gostei muito..gostaria de saber como envio exercícios para ser resolvidos…
fev 09, 2011 @ 20:54:11
Ola, eu nao entendi a resoluçao do exercicio 3 de p.a. Como vc dividou os termos em pares em impares? poderia me explicar por favor… Obrigada
jan 15, 2011 @ 17:05:58
Como resolvo isso?
Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro termo. sabendo-se que a1=2000, o valor de a5 é:
a) 20/3
b) 18/7
c) 16/5
d) 14/5
e) 12/7
fev 16, 2012 @ 16:05:36
a1 = 2000
a4 = 2/10 a3
a5 = termo procurado
a4 = a3 x q
2/10 a3 = a3 x q
q = 2/10
a5 = a4 x q
a5 = 16 x 2/10
a5 = 16/ 5 letra C
dez 28, 2010 @ 21:56:12
como resolver essa conta
1/2 ,2,7/2
dez 14, 2010 @ 20:31:52
determine 5 numeros que formam uma P.A crecente, de forma que o produto dos extremos seja 28 e a soma dos outros tres seja 24
dez 04, 2010 @ 22:04:32
eu queria saber como fazer a p.g
escreva uma p. g de 6 termos em que a¹= 5 e q= 3.
jul 03, 2011 @ 18:43:59
Você vai multiplicando por 3.
PG ( 5,15,45,135,405,1215)
dez 02, 2010 @ 15:26:37
um virus se reproduz rapidamente.em apenas um dia, cada um deles se transforma em tres iguais. se um virus penetrar no organismo de uma pessoa, quantos eles serao no 7 dia?
nov 28, 2010 @ 18:38:47
EU GOSTARIA DE BABER COMO RESOLVER ESSA QUESTÃO
DETERMINE O ÚLTIMO DA (12,10 8,…AM)SABENDO QUE A SOMA DE SEUS ELEMENTOS É 36
nov 22, 2010 @ 15:04:04
Eu preciso de sua ajuda até as 5 hras de hj
ao efetuar a soma de 50 percelas da P.a (202, 206, 210….) por distração não fo somada o trgéssima quinta parcela . Qual foi a soma encontrada ??
Eu precisooo urgente!!
Obrigada*-*
jul 03, 2011 @ 18:56:04
Eu sei que já é tarde pra responder, mas vou responder.
a35= a1 + 34r
a35=202 + 34 . 4
a35= 338
a50= a1 + 49r
a50= 202 + 49 . 4
a50= 398
Sn=(a1+an).n/2
Sn= (202+398).50/2
Sn=600.50/2
Sn=15000 – 338 = 14662
nov 17, 2010 @ 18:55:58
como resolver “isso”
a3+a10=40
a8-a6=40
maio 19, 2011 @ 12:57:18
acho que só somar os termos semelhantes e dpois tirar o valor do a
dez 08, 2011 @ 19:33:20
também não sei! hahahaha
nov 13, 2010 @ 16:26:52
quero obter respostas resolvidas
nov 12, 2010 @ 12:43:28
gostei muito mas queria q resolve-se essa pra mim..
a) o 4° termo da Pg em que a= 4 e q= 5
nov 10, 2010 @ 15:57:34
queria saber como eu faço a conta de uma pg infinita?
nov 10, 2010 @ 15:55:13
nossa eu to pra fazer uma prova de matematica no meu serviço pocha e cai bastante dessas contas to preucupada mais muito obrigada espero muito que essa explicação me ajude.
nov 05, 2010 @ 13:37:21
numa pg em que a1=2/4 e a razão é 3, calcule o termo 3 dessa PG… preciso de ajuda…
out 27, 2010 @ 13:03:41
sequencia numerica pa pg
out 08, 2010 @ 02:52:14
Seja f uma funçao definida no conjunto dos números naturais, tal que f(x+1) = 2f(x) + 3. Se F (0) = 0, entao F(2) é iqual a?
out 08, 2010 @ 02:48:50
Seja a PG (a,b,c). Se a +b+c = 7/6, e a.b.c = -1, entao o valor de a + c è?
set 30, 2010 @ 13:16:16
preciso de ajuda para resolver algumas p.a.
set 22, 2010 @ 21:01:51
obrigado vc me ajudou bastante amanha vc tirar 10 na prova!valeu
set 21, 2010 @ 12:12:48
tenho que ressolver uma questão e não sei como de pg
questão seja a pg (a,b,c) se a+b+c=7/6, e a.b.c=1, então o valor de a+c é, a=8, b=12
, c=5/6 e d=13/6
set 10, 2010 @ 12:05:11
Inscrevendo-se nove meios aritmeticos entre 15 e 45,qual é o sexto termo da P.A?
jul 03, 2011 @ 19:04:11
a11= a1 + 10r
45= 15+ 10r
-10r= -30 (-1)
r= 30/10
r= 3
Dai você vai somando.
15+3=18+3=21+3=24
o Sexto termo vai ser 33.
set 09, 2010 @ 20:21:54
determine o decimo quinto termo da pa 4,7,10
ago 31, 2010 @ 00:59:50
calcule a soma dos 50 primeiros termos (2,6,10)
set 01, 2011 @ 23:26:42
6= 2 + r 10=6+r
-r= -6+2 (-1) -r= -10 + 6 (-1)
r= 6-2 = 4 r= 10-6 = 4
An= A1 + (n-1) . r S= (A1 + An) . n / 2
A50= 2 + (50-1) . 4 S= (2+198) . 4 / 2
A50= 2+49.4 S= 200.4 / 2
A50= 2 + 196 = 198 S= 800/2 = 400
ago 25, 2010 @ 18:09:52
faz essas pra mim ae , bora ver si tu é o cara ! rs.
CALCULE :
a) O 5º TERMO P.G (1,5,..)
b) O 10º TERMO DA P.G ( 9,2,7…)
2ª ) Numa P.G infinita temos A¹ = 512 e Q= 1/2 qual é o 6º termo dessa P.G ?
ago 25, 2010 @ 13:02:32
oi to tentando achar a resposta dessa questão:
Verifique se cada sequência dada é uma PG . Em caso positivo, dê o valor da razão “q”
a) – (1,3,9,27,81)
b) – (5,-10,20,-40,80,-160)
Obg ;)
ago 24, 2010 @ 20:49:48
interpole oito meios aritimeticos entre 26 e -1:
ago 17, 2010 @ 00:10:37
faz esse pra mim determine o numero de termos do p.a (2,4,…,32)
jun 24, 2010 @ 15:48:13
Nossaaa Brigadãoo…
Tudo Certinhooo vô tirar 10
Valeooo mesmo
jun 21, 2010 @ 11:32:49
FAZ ESSE PRA MIM?
A função f(x) = x² – 2x + 3k tem dois zeros reais iguais. Nessas condições, determinar os valores reais de k.
preciso para hoje a tarde.
jun 18, 2010 @ 12:11:10
Adorei o conteúdo D+++++++++++++++
maio 30, 2010 @ 19:24:13
eu quiria saber com acha a razão de uma pg como calcula os termos de uma pg
o numerode termos
maio 30, 2010 @ 19:00:27
O primeiro tem um erro. Esse esta corrigido.
Tem uma forma bem mais fácil de fazer o primeiro exercício.
a1 = g1 = 4
a2 = g2 + 2
a3 = g3
(1) a2 – a1 = a3 – a2 => a2 – 4 = a3 – a2 => a3 = 2.a2 – 4
(2) g3 = 2.(g2 + 2) – 4 => g3 = 2.g2
(3) g2/g1 = g3/g2 => g2/4 = 2.g2/g2 => g2 = 8
(4) q = g2/g1 => q = 8/4 => q = 2
(5) q.g2 = g3 => g3 = 2.8 => g3= 16
maio 30, 2010 @ 18:56:54
Tem uma forma bem mais fácil de fazer o primeiro exercício.
a1 = g1 = 4
a2 = g2 + 2
a3 = g3
(1) a2 – a1 = a3 – a2 => a2 – 4 = a3 – a2 => a3 = 2.a2 – 4
(2) g3 = 2.(g2 + 2) – 4 => g3 = 2.g2
(3) g2/g1 = g3/g2 => g2/4 = 2.g2/g2 => g2 = 8
(4) q = a2/a1 => q = 8/4 => q = 2
(5) q.a2 = a3 => a3 = 2.8 => a3= 16