Nos cálculos algébricos são frequentes a presença de alguns produtos (multiplicações) que, por conta desse fato, obtiveram destaque especial e receberam o nome de Produtos Notáveis.

Como se vê não há nada de excepcional. Decorrem, como o próprio expressa, de uma operação aritmética, a multiplicação, com a qual todos se deparam no início de sua formação.

Envolve, também, como veremos, a definição de Potenciação com expoente inteiro e que já foi abordada aqui no Blog Viche. E, também, nestas condições, nada mais é do que uma multiplicação.

Assim, é natural lembrá-los das propriedades da multiplicação que serão utilizadas (ou não) nas demonstrações dos Produtos Notáveis mais comuns apresentados abaixo.

Propriedades da Multiplicação em R

• Comutativa – A ordem dos fatores não altera o resultado final da operação ou produto: a.b = b.a, para todo a e b reais;
• Associativa – O agrupamento de fatores não altera o resultado: a.(b.c) = (a.b).c, para qualquer a, b e c reais;
• Distributiva – O produto de um número por uma soma ou diferença de dois outros números é igual a soma ou diferença entre o produto desse número por cada uma das parcelas: a.(b + c) = a.b + a.c ou a.(b – c) = a.b – ac;
• Elemento Neutro – O número (fator) 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1.x = x, para qualquer x real;
• Elemento Opositor – O número -1 transforma o produto em seu oposto: -1.x = -x, para qualquer x real diferente de zero;
• Fechamento – O produto de dois números reais é, sempre, um número real;
• Anulação – O número 0 anula o produto: 0.x = 0, para qualquer x real.

Produtos Notáveis Mais Comuns

PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Demonstração:

Pela definição de potenciação temos que:

(a + b)² = (a + b)(a + b)

Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:

(a + b)² = a(a + b) + b(a + b) = a² + ab + ba + b²

E, finalmente pela propriedade comutativa vem:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):

(a + b)(a – b) = a² – b²

Demonstração:

Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:

(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a² – ab + ba – b² = a² – b²

PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Demonstração:

Da definição de potenciação:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)²

Pela propriedade PN1:

(a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²)

Da propriedade distributiva da multiplicação vem:

(a + b)³ = a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)

=> (a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:

(a + b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

PN6. Produto de Stevin:

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

PN7. Produtos de Warring:

[1] a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

[2] a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Demonstração de [1]:

Da propriedade PN4 temos que:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Por outro lado:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²)

Substituindo na igualdade anterior vem:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²)

Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:

a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) – 3a²b – 3ab²

=> a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) – 3ab(a + b)

=> a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b² – 3ab) = (a + b)(a² – ab + b²)