Nos cálculos algébricos são frequentes a presença de alguns produtos (multiplicações) que, por conta desse fato, obtiveram destaque especial e receberam o nome de Produtos Notáveis.

Como se vê não há nada de excepcional. Decorrem, como o próprio expressa, de uma operação aritmética, a multiplicação, com a qual todos se deparam no início de sua formação.

Envolve, também, como veremos, a definição de Potenciação com expoente inteiro e que já foi abordada aqui no Blog Viche. E, também, nestas condições, nada mais é do que uma multiplicação.

Assim, é natural lembrá-los das propriedades da multiplicação que serão utilizadas (ou não) nas demonstrações dos Produtos Notáveis mais comuns apresentados abaixo.

Propriedades da Multiplicação em R

  • Comutativa – A ordem dos fatores não altera o resultado final da operação ou produto: a.b = b.a, para todo a e b reais;
  • Associativa – O agrupamento de fatores não altera o resultado: a.(b.c) = (a.b).c, para qualquer a, b e c reais;
  • Distributiva – O produto de um número por uma soma ou diferença de dois outros números é igual a soma ou diferença entre o produto desse número por cada uma das parcelas: a.(b + c) = a.b + a.c ou a.(b – c) = a.b – ac;
  • Elemento Neutro – O número (fator) 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1.x = x, para qualquer x real;
  • Elemento Opositor – O número -1 transforma o produto em seu oposto: -1.x = -x, para qualquer x real diferente de zero;
  • Fechamento – O produto de dois números reais é, sempre, um número real;
  • Anulação – O número 0 anula o produto: 0.x = 0, para qualquer x real.

Produtos Notáveis Mais Comuns

PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Demonstração:

Pela definição de potenciação temos que:

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:

(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2

E, finalmente pela propriedade comutativa vem:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Demonstração:

Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:

(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2

PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Demonstração:

Da definição de potenciação:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2

Pela propriedade PN1:

(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Da propriedade distributiva da multiplicação vem:

(a + b)3 = a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)

=> (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:

(a + b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

PN6. Produto de Stevin:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

PN7. Produtos de Warring:

[1] a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

[2] a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Demonstração de [1]:

Da propriedade PN4 temos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Por outro lado:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Substituindo na igualdade anterior vem:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:

a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2

=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)

=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)

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