Matemática

nov 4, 2006

Conjuntos: Operações – Parte II

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Em sequência ao artigo Conjuntos: Noções Básicas – Parte I vamos agora abordar as principais operações com conjuntos.

Reunião ou União

Consideremos os dois conjuntos:

A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}

Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:

C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:

A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

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nov 2, 2006

Conjuntos: Noções Básicas – Parte I

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Este artigo e o a ser publicado – Parte II – se propõem a apresentar as principais propriedades da Teoria dos Conjuntos, que tem sua origem nos trabalhos do Matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, nascido em S. Petersburgo (1845-1918), e são decorrência de três axiomas ou noções primitivas – noções cuja verdade é de si evidente:

a) Conjuntos

A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:

  • Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
  • Conjunto dos números inteiros pares;
  • Conjunto dos dias da semana;
  • Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.

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set 23, 2006

Produtos Notáveis

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Nos cálculos algébricos são frequentes a presença de alguns produtos (multiplicações) que, por conta desse fato, obtiveram destaque especial e receberam o nome de Produtos Notáveis.

Como se vê não há nada de excepcional. Decorrem, como o próprio nome expressa, de uma operação aritmética, a multiplicação, com a qual todos se deparam no início de sua formação.

Envolve, também, como veremos, a definição de Potenciação com expoente inteiro e que já foi abordada aqui no Blog Viche. E, também, nestas condições, nada mais é do que uma multiplicação.

Assim, é natural lembrá-los das propriedades da multiplicação que serão utilizadas (ou não) nas demonstrações dos Produtos Notáveis mais comuns apresentados abaixo.

Propriedades da Multiplicação em R

  • Comutativa – A ordem dos fatores não altera o resultado final da operação ou produto: a.b = b.a, para todo a e b reais;
  • Associativa – O agrupamento de fatores não altera o resultado: a.(b.c) = (a.b).c, para qualquer a, b e c reais;
  • Distributiva – O produto de um número por uma soma ou diferença de dois outros números é igual a soma ou diferença entre o produto desse número por cada uma das parcelas: a.(b + c) = a.b + a.c ou a.(b – c) = a.b – ac;
  • Elemento Neutro – O número (fator) 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1.x = x, para qualquer x real;
  • Elemento Opositor – O número -1 transforma o produto em seu oposto: -1.x = -x, para qualquer x real diferente de zero;
  • Fechamento – O produto de dois números reais é, sempre, um número real;
  • Anulação – O número 0 anula o produto: 0.x = 0, para qualquer x real.

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set 8, 2006

Exercícios Resolvidos #4 – Logaritmo

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No quarto número do Exercícios Resolvidos vamos colocar em prática a teoria apresentada no artigo sobre Logaritmo, o qual, sugiro, você deve consultar em caso de dúvidas, uma vez que serão apenas mencionadas as propriedades ali abordadas.

Exercício 1: Se logaba = 4, calcule:

Exercício 4 - Logaritmo

Solução:

Reescrevendo a expressão com o uso das propriedades dos logaritmos indicadas abaixo do sinal de igualdade, temos que:

Solução Exercício 1 - Logaritmo

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set 6, 2006

Curiosidade Matemática #4 – Conceitos

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Ao folhear o livro Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945 (isto mesmo! 61 anos atrás) encontrei, no Capítulo II – Operações sôbre Números Inteiros, os conceitos a seguir relacionados:

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ago 15, 2006

Curiosidade Matemática #3 – Como Pode??

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Estes dias recebi um E-Mail de um amigo com o título “Como Pode??” e a questão abaixo, com a seguinte solicitação “me explica matematicamente”.

A matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria. Aí vai uma delas…

Pegue uma calculadora porque não dá pra fazer de cabeça, a não ser que você seja um gênio, ou seja parecido comigo…

  1. Digite os 4 primeiros algarismos de seu telefone (não vale número de Celular);
  2. multiplique por 80;
  3. some 1;
  4. multiplique por 250;
  5. some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone;
  6. some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo;
  7. diminua 250;
  8. divida por 2…

Reconhece o resultado?

Para essa eu tiro o chapéu…

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ago 11, 2006

Análise Combinatória

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Em nosso cotidiano é muito comum nos depararmos com situações que envolvam problemas de contagem. Desde as mais simples, em que se é possível determinar através, por exemplo, de um diagrama de árvore, a quantidade de maneiras em que dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer, como com situações em que é necessário se utilizar de métodos especiais de contagem.

Um exemplo simples consiste em determinar quantos anagramas podem ser formados com o uso das quatro letras da palavra BLOG. Mesmo que você ainda não conheça a teoria da Análise Combinatória, é perfeitamente possível chegar ao resultado através da listagem exaustiva das possibilidades ou do uso de um diagrama. Veja abaixo uma das formas de se demonstrar que existem 6 possibilidades de anagramas iniciados com a letra B (BLOG, BLGO, BOLG, BOGL, BGOL e BGLO).

Exemplo de Diagrama

O uso do mesmo raciocínio para as demais letras (L, O e G) nos permite concluir que o número de possibilidades é igual a 24 (4 x 6). Adiante, veremos que a solução é bastante simples, não havendo necessidade de montar um diagrama como o acima, a menos que se queira saber quais são os anagramas, para estabelecer com precisão o resultado.

Mesmo esse caso exige um pouco de trabalho e interpretação para se obter o valor. Agora imagine se você necessitasse determinar a sua chance de ganhar na Mega Sena ou saber quantas placas de carros podem ser construídas com o uso de três letras e quatro algarismos?

É óbvio que o método utilizado acima seria totalmente impraticável para solucionar essas questões. São situações desse tipo, em que se exige a organização e a contagem de grupos, que serão o objeto deste artigo.

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem estabelece de quantas maneiras dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer.

Assim, se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes, representadas por a1, a2, …, am, e, se para cada uma dessas m maneiras um segundo evento B, pode ocorrer de n maneiras diferentes, representadas por b1, b2, …, bn, então o número de maneiras que esses eventos podem ocorrer, um seguido do outro, é igual a mn.

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jul 29, 2006

Exercícios Resolvidos #3 – Radiciação

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Resolução de exercícios sobre Radiciação com o objetivo de fixar os conceitos e as propriedades já tratadas no artigo de mesmo nome. Inicia com a questão do leitor identificado como HENRIQUE (comentário #33) sobre raiz de índice m da raiz de índice n ou como dito por ele, radical duplo.

Em seguida, serão resolvidos outros exercícios em que procuro cobrir todas as propriedades esboçadas no texto teórico acima mencionado. Em caso de dúvidas leia o artigo cujas propriedades serão aqui apenas assinaladas por P1, P2, …, P7 quando usadas.

Exercício 1: A raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn de a:

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jun 25, 2006

Característica, Mantissa e Tabela Logarítmica

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Normalmente, toda calculadora científica possui a função que permite calcular o valor do logaritmo decimal ou de base 10 de um número.

A figura abaixo exibe a calculadora do Windows XP no modo científico, com o resultado do logaritmo decimal de 127.

Observe que estão assinalados a característica do logaritmo (a parte inteira), a mantissa (a parte decimal) com 31 casas e a função log que efetua o cálculo.

O objetivo é obter esse resultado, com menos casas decimais, a partir dos conceitos de característica e mantissa do logaritmo decimal.

Calculadora - Logaritmo de 127

A mantissa, como veremos, é obtida a partir da tábua de logaritmos (ou tabela logarítmica) apresentada abaixo. A tabela contém a mantissa, com quatro casas …

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jun 22, 2006

Exercícios Resolvidos #2 – PA e PG

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Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II se referem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos exercícios a seguir.

Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

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