Identificação da Questão

Proponente

Evandro Lopes de Oliveira

O que Faz

Sistema de Informação/Análise de Sistemas

Onde

Faculdade de Computação de Montes Claros, Minas Gerais

Questão

Qual é a regra para determinar o último digito do resultado de x = 37¹⁸ + 42¹⁵ + 9³²

Introdução

Como se trata de uma questão que traz embutida um certo grau de curiosidade e aparente complexidade, decidi iniciar com ela a abertura de uma nova categoria de posts. O nome escolhido para batizá-la, VICHE Responde, foi o sugerido pelo Maujor nos comentários do artigo sobre Radiciação.

A idéia é criar um canal específico de interação com os leitores do VICHE para responder questões propostas e relacionadas aos artigos de Matemática aqui publicados. Lembro, apenas, que ficam restritas às condições alinhavadas nos parágrafos iniciais do artigo acima mencionado.

Acrescento, à essas condições, que não publicarei a solução de todas as questões, reservando-me o direito de escolha. Porém, esclareço que continuarei respondendo, por E-Mail, às questões não publicadas da mesma forma que venho fazendo até então (claro, desde que eu saiba!).

Solução:

A solução se baseia nas regras a seguir:

• No produto de dois números inteiros o último dígito (ud) do resultado é obtido a partir do produto das unidades desses números, não havendo necessidade de ter o cálculo efetuado para determiná-lo. Por exemplo, 12 x 266 = 3192 e 2 x 6 = 12, onde se tem que o ud do produto é igual a 2. Veja que bastava, como dito, efetuar o produto 2 x 6;
• Lembrando que a potência de grau n de um número a, n inteiro, é igual ao produto de n fatores iguais a a, temos, pela observação acima, que o ud de uma dada potência é obtido da potência de mesmo grau de sua unidade (up). Exemplificando: o ud de 37¹⁸ é o mesmo que o de 7¹⁸;
• Com esses dois fatos restringimos a obtenção do ud de uma potência à potência de sua unidade. Abaixo são apresentadas as potências de grau 1 a 7, o seu resultado e o ud deste resultado, dos números 2, 3, 4, 7, 8 e 9. Para as potências dos números 0, 1, 5 e 6 não há necessidade, uma vez que qualquer potência desses números tem como ud ele próprio. Ou seja, o ud, por exemplo, de 25436³⁴⁵⁵ é igual a 6;
• Simplificando ainda mais: observe na tabela, linha identificada por Último Dígito, que determinado o ud da potência de grau 2 de um número, o ud das demais potências é obtido do produto desse número pelo ud da potência anterior. Isto é, considerando o número 3 temos: 3² = 9, 9 x 3 = 27, 7 x 3 = 21, 1 x 3 = 3, 3 x 3 = 9 e 9 x 3 = 27;
• Finalmente, observe que para cada número na tabela existe uma quantidade de ud´s – indicados em laranja – que passam a se repetir na mesma ordem, a partir do último, de forma cíclica. No caso do 2: quantidade de ud´s diferentes 4 (q = 4), ud₂ = 4, ud₃ = 8, ud₄ = 6 e ud₅ = 2, onde o subscrito indica a potência correspondente. E o grau (ou expoente) da última potência (ug) antes do início da repetição é igual a 5.

Aplicando as regras para 37¹⁸ temos, utilizando os últimos dígitos da tabela para o número 7, que:

Pela propriedade cíclica obtemos:

Donde se conclui que o ud de 37¹⁸ é igual a 9.

O processo acima detalhado tem um caráter apenas didático, pois já pensou se a potência fosse 120 e não 18?

Para resolver este dilema vamos ao passo final, analisando o mesmo caso tratado sobre uma ótica que facilite a nossa vida:

Temos q = 4, ug = 5 e up = 7. Portanto, restam 13 fatores para completar o expoente da potência (n = 18). Como q = 4 temos 3 ciclos completos e resta 1 (13 = 3 x 4 + 1). Daqui se conclui que o ud da potência é o da primeira posição do ciclo e portanto igual a 9.

Para 42¹⁵: q = 4, ug = 5 e up = 2 => resto[(15 – 5)/4] = 2. Pela tabela temos que ud = 8.

Para 9³²: q = 2, ug = 3 e up = 9 => resto[(32-3)/2] = 1. Logo ud = 1.

Portanto o ud de x é igual a 8, que corresponde ao ud da soma dos ud´s das parcelas 9 + 8 + 1 = 18.