Adição

É a operação que tem por fim determinar uma fração que contenha todas as unidades e partes de unidades de várias parcelas de mesma natureza.

Entende-se por mesma natureza as frações que exprimem as mesmas partes da unidade, ou seja, que tenham o mesmo denominador, também conhecidas como homogêneas (2/8, 3/8 e 5/8 é um exemplo de tais frações).

Distinguem-se três casos na adição de frações.

A1. Soma ou adição de frações homogêneas ou de mesmo denominador.

Como fazer – Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{2 + 3}{8}=\frac{5}{8}

Como o denominador representa em quantas partes a unidade foi dividida, lembram-se, basta, para obter o número das partes, somar os numeradores.

Na figura a seguir temos uma pizza – prato comum em Brasília – servida para você e um amigo dividida em oito partes iguais (faça um esforço!). Se você come dois pedaços e seu amigo três, os dois juntos consumiram cinco partes em oito, ou seja, cinco oitavos da pizza.

Adição

A2. Adição de frações que não têm o mesmo denominador comum (frações heterogêneas).

Inicialmente, atente que não podemos somar quantidades de “coisas” diferentes e expressar o resultado em uma dessas “coisas”. Clareando: não podemos somar 5 maçãs e 3 bananas e dizer que o resultado é 8 maças ou 8 bananas.

Assim para somar frações heterogêneas é necessário, primeiro, transformar cada parcela nas mesmas partes da unidade, isto é, em frações que tenham o mesmo denominador comum.

Em resumo:

Como fazer – Para somar frações que não tenham o mesmo denominador, é preciso reduzi-las ao mesmo denominador e aplicar, então, a regra do primeiro caso A1.

Exemplo: Somar as frações 2/3, 5/8 e 1/6.

Utilizando-se da regra 2 de redução de frações ao mesmo denominador comum (veja a Parte II), temos que o mmc(3,6,8) = 24 e:

\frac{2}{3}+\frac{5}{8}+\frac{1}{6}=\frac{16}{24}+\frac{15}{24}+\frac{4}{24}=\frac{16+15+4}{24}=\frac{35}{24}

A3. Somar números mistos.

Como fazer:

  • Método 1: Para somar números mistos, somam-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras, acrescentando-lhes também os inteiros obtidos na adição das partes fracionárias;
  • Método 2: Para somar números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso A2.

Exemplo: Somar os números mistos 3\frac{1}{5} e 5\frac{2}{3}, pelo método 1. E você resolve pelo método 2, ok :-).

Pelo dito no método 1, temos:

3\frac{1}{5}+5\frac{2}{3}=3+5+\frac{1}{5}+\frac{2}{3}=8+\frac{3+10}{15}=8\frac{13}{15}=\frac{133}{15}

Subtração

É a operação que tem por objetivo tirar de um número dado todas as unidades e partes da unidade de outro número de mesma natureza.

Observação: No que se segue não serão considerados os casos em que o minuendo é menor do que o subtraendo, pois requer o conhecimento da teoria dos números relativos. Mas as regras em si permanecem válidas para quem é detentor do assunto.

Da mesma forma que na adição temos três casos que se distinguem na subtração.

S1. Subtração de duas frações com o mesmo denominador.

Como fazer – Subtrai-se o numerador da menor do numerador da maior e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

\frac{7}{12}-\frac{5}{12}=\frac{7-5}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}

S2. Subtração de duas frações que não têm o mesmo denominador.

Lembrem-se, como colocado para a adição, que somente podemos subtrair quantidades de mesma natureza.

Como fazer – Da mesma forma que na adição, para se obter a subtração de frações heterogêneas, é preciso, primeiro, reduzi-las ao mesmo denominador, e, então, aplicar o caso S1.

Exemplo:

\frac{6}{7}-\frac{2}{5}=\frac{30}{35}-\frac{14}{35}=\frac{30-14}{35}=\frac{16}{35}

S3. Subtração de números mistos

  • Método 1: Para subtrair dois números mistos, subtraem-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras e somam-se os resultados;
  • Método 2: Para subtrair dois números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso S2.

Exemplo (método 2): Convertendo os números mistos dados na subtração para frações impróprias:

9\frac{2}{3}-2\frac{3}{5}=\frac{(9\times3)+2}{3}-\frac{(2\times5)+3}{5}=\frac{29}{3}-\frac{13}{5}

E reduzindo ao mesmo denominador comum – mmc(3,5)=15:

9\frac{2}{3}-2\frac{3}{5}=\frac{145}{15}-\frac{39}{15}=\frac{145-39}{15}=\frac{106}{15}

Multiplicação

A multiplicação de frações é a operação na qual partindo-se de duas frações dadas se obtem uma terceira que corresponde ao produto das duas anteriores.

M1. Multiplicar uma fração por outra.

Como fazer. Para se multiplicar uma fração por outra, multiplicam-se seus numeradores para obter o numerador da fração produto e seus denominadores para obter o denominador da fração produto.

Exemplo:

\frac{3}{8}\times\frac{5}{9}=\frac{3\times5}{8\times9}=\frac{15}{72}=\frac{5}{24}

Observação: Para se multiplicar um inteiro por uma fração ou uma fração por um inteiro basta multiplicar esse inteiro pelo numerador da fração ou o numerador da fração por esse inteiro. É só notar que um numero inteiro pode ser representado por uma fração cujo denominador é um, por exemplo, 5 = 5/1, e chegamos no caso M1, em que o denominador não se altera uma vez que é multiplicado por um.

M2. Produto de várias frações: É o resultado obtido multiplicando a primeira fração pela segunda; depois este produto pela terceira, e assim sucessivamente, até a última fração.

Observe que o produto de frações se faz da mesma forma que o produto de números inteiros e que o resultado, no caso das frações, é obtido pela aplicação repetida do caso M1.

Como fazer – Multiplicam-se os numeradores entre si para obter o numerador do produto e os denominadores entre si para obter o denominador do produto.

Exemplo:

\frac{2}{5}\times\frac{3}{8}\times\frac{5}{6}=\frac{2\times3\times5}{5\times8\times6}=\frac{30}{240}=\frac{1}{8}

Os cálculos acima poderiam ser simplificados, suprimindo-se os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-los, como indicado a seguir:

\frac{2}{5}\times\frac{3}{8}\times\frac{5}{6}=\frac{\not2^1\times\not3^1\times\not5^1}{\not5_1\times\not8_4\times\not6_2}=\frac{1\times1\times1}{1\times4\times2}=\frac{1}{8}

Divisão

Divisão de frações é a operação que tem por fim, dadas duas frações, dividendo e divisor, achar uma terceira, o quociente, tal que multiplicada pelo divisor, reproduza o dividendo.

D1. Dividir uma fração por um inteiro

Como fazer – Para se dividir uma fração por um inteiro multiplica-se o denominador pelo iinteiro.

Exemplo:

\frac{5}{6}\div3=\frac{5}{6\times3}=\frac{5}{18}

D2. Dividir um inteiro por uma fração.

Como fazer – Multiplica-se o inteiro pela fração invertida.

Exemplo:

5\div\frac{7}{3}=5\times\frac{3}{7}=\frac{5\times3}{7}=\frac{15}{7}

D3. Dividir uma fração por outra.

Como fazer – Multiplica-se a fração do dividendo pela fração do divisor invertida. Em outras palavras conserva-se a primeira (dividendo) e multiplica-se pelo inverso da segunda (divisor).

Exemplo:

\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{7}}=\frac{3}{5}\div\frac{4}{7}=\frac{3}{5}\times\frac{7}{4}=\frac{3\times7}{5\times4}=\frac{21}{20}

Observações Finais

  • O inverso de um número é o quociente de 1 por este número. Exemplos: o inverso de 2 é 1/2, o inverso de 3/5 é 5/3 e o de 1/5 é 5;
  • Duas frações são inversas quando o numerador de cada uma é o denominador da outra;
  • Quando duas frações têm o mesmo denominador, o quociente entre elas é igual à fração formada pelo numerador da primeira sobre o da segunda. Exemplo (1/5):(3/5) = 1/3;
  • O produto de dois números inversos é sempre 1;
  • Dois números são recíprocos quando o seu produto é igual à unidade.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945.

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