Tenho visto em alguns sites e blogs colocações que causam um certo “espanto” e que podem levar a supor que há inconsistências na Matemática.
Para jogar mais lenha na fogueira apresento, a seguir, duas demonstrações aparentemente corretas, mas que contêm uma passagem que contrariam princípios simples e, porque não dizer, triviais da Matemática, para que você se habilite a explicar o que tem de errado nelas.
Na primeira vou “demonstrar” que a + b = b, partindo da suposição de que a = b.
Inicialmente, multiplicamos os membros da igualdade a = b por a para obtermos:
a2 = ab
Em seguida, subtraímos b2 nos dois lados da igualdade anterior:
a2 – b2 = ab – b2
Do produto notável a2 – b2 = (a + b)(a – b) e colocando-se b em evidência no segundo membro da igualdade acima, vem:
(a + b)(a – b) = b(a – b)
E, finalmente, simplificando-se a – b nos dois membros da igualdade concluímos que:
a + b = b
Observe, agora, que se a = b = 1 então 2 = 1, ou se a = b = 2 que 4 = 2 e por aí vai.
E que tal “mostrar” que 1/9 > 1/3.
Obviamente é fato que 2 > 1. Multiplicando a desigualdade pelo logaritmo decimal de 1/3 vem:
2log(1/3) > log(1/3)
Pela propriedade dos logaritmos:
log(1/3)2 > log(1/3)
Daqui, eliminando-se o logaritmo em ambos os membros:
(1/3)2 > 1/3
E, finalmente:
1/9 > 1/3
Realmente tem algo de errado. Quem se habilita?
dez 17, 2010 @ 08:48:45
Você tem que prestar atenção nos valores reais :
Todo logaritimando entre 0 e 1 ( 0 < x log(1/3)
2(-0.477) > (-0.477)
Multiplicando :
———————–
-0.954 > -0.477
————————
Então divide-se ambos os membros por (-1)
(-0.954) (-0.477)
———— > ———— (com o jogo de sinal, “menos ” com “menos é “mais”)
(-1) (-1)
0.954 0.477
——— > ——— = 0.954 > 0.477 (isso é verdadeiro)
1 1
dez 17, 2010 @ 00:53:32
É fácil encontrar o erro… São típicos erros ao usar o ZERO
Veja Bem:
Se :
a = b
Então : (a – b) = 0
Você colocou isso
(a + b)(a – b) = b(a – b)
Bem, na verdade, isso é
(a + b) . 0 = b . 0
que resulta em 0
pois a – b = 0
porque a = b
Naturalmente, você cortaria(porque seria uma divisão) o (a – b) do primeiro membro com o (a – b) do segundo membro. Porém ambos são iguais a ZERO.
e ZERO DIVIDIDO por ZERO = 0
No seu processo você considerou que ZERO dividido por ZERO é igual a 1
Ou seja, você esqueceu que ( a – b) tem como valor 0.
Resumindo: tome cuidado ao utilizar zeros, eles podem criar essas aberrações.
passar bem !!
jul 24, 2010 @ 14:30:28
obrigado pela dica. mt bom seu blog! parabens!
nov 02, 2009 @ 08:36:47
A matemática poder vista de vários angulos, apesar de ser uma ciência exata.
jul 02, 2007 @ 16:24:06
Parece aquela coisa de três num bar 30 reais de conta e fica sempre faltando 1 real…..
jun 06, 2007 @ 16:44:42
concordo c/ nossos colegas Douglas e Leandro.
“ilusionismo” apenas para os que não analisam a questão, que não deixa de ser admirável à primeira vista!
abr 19, 2007 @ 00:50:31
Os erros são tão triviais quanto as “demonstrações”.
Na primeira, como observou o Douglas, o erro está em se dividir por zero.
Na segunda, o erro vem simplesmente do fato de que o logaritmo decimal de 1/3 é um número negativo, e como sabemos desde o jardim da infância, ao multiplicarmos uma inequação por um número negativo, invertemos seu sinal.
abr 14, 2007 @ 22:41:18
É evidente que à primeira vista todo o raciocinio está correto, mas se olharmos com atenção, encontramos a falha: Quando se aplica os logaritmos a ambos os membros da desigualdade, nada é afirmado relativamente à base do mesmo. Pois se for considerado log de base entre 0 e 1, o raciocinio é inválido.
De fato loga((1/2)2)
abr 13, 2007 @ 20:37:29
Teste MimeTeX em comentários – raízes da equação do segundo grau
:
Coloque o mouse sobre as imagens para ver a expressão LaTeX correspondente.
abr 10, 2007 @ 18:20:15
Na primeira demonstração, começa-se a desenvolver a partir da suposição que a=b. O desenvolvimento toma um rumo incorreto quando simplifica-se por (a-b) os dois lados da igualdade. Se a=b, a-b=0. Obviamente que multiplicando os dois lados da equação por 0 que a igualdade é verdadeira. A partir da retirada do zero, não está ocorrendo uma simplificação correta e a equação torna-se absurda. Ex: 8×0=5×0 (simplificando por 0, estaremos dividindo por 0, o que está errado).
Na segunda demonstração ainda não achei o erro. Parece-me que o erro está na aplicação da propriedade dos logaritmos, que não seria aplicável nessa inequação.